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[技术]雷友CirclesOfDoom出的扫雷题目.精 (12/4358)
 [雷神] 石磊 发表于 2008年10月29日
在扫雷中,给定一个布局,定义该布局的逆布局为:将雷都变成非雷,将非雷都变成雷 
证明:一个布局中的所有数字之和,与其逆布局中的所有数字之和相等。

如何证明呢?
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第 1 楼
 [雷圣] 张砷镓 回复于 2008年10月29日
【待证假设】

一个布局中的所有数字之和,与其逆布局中的所有数字之和相等。

【第一步】

设定有一个X行Y列的布局,布局中没有一个雷,故所有数字之和N1为0。此时的逆布局全部是雷,故所有数字之和N2也为0,假设成立。

【第二步】

在布局中增加一个雷,有三种情况:

1、雷在布局中间,将产生8个数字,此时N1=8。而此时的逆布局只有一个空在中间,N2=8,假设成立。

2、雷在布局边缘,将产生5个数字,此时N1=5,而此时的逆布局只有一个空在边缘,N2=5,假设成立。

3、雷在布局角部,将产生3个数字,此时N1=3,而此时的逆布局只有一个空在角部,N2=3,假设成立。

【第三步】

在上一布局中再增加一个雷,有三种情况:

1、新的雷与附带产生的数字与原有的雷与数字互相不重叠,则视其出现位置N1分别+8(中间)、+5(边缘)、+3(角部),N2也发生对应变化,假设成立。

2、新的雷附带产生的数字与原有的雷附带数字重叠,重叠部分的数字将累加计算,N1和N2依然根据新雷所处位置分别+8(中间)、+5(边缘)、+3(角部),故假设成立。

3、新的雷附带产生的数字与原有的雷重叠,与雷重叠部分的数字将消失,每重叠M个雷N1比不重叠的情况减少M,而逆布局重叠的雷也会消失,N2也会对应减少M,故假设仍然成立。

【最终步】

按以上顺序进行,最终直至雷充满整个布局,N1和N2同时回归于0,假设得证。

好笨的办法,寒……
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第 2 楼
 [雷圣] 田溢昉 回复于 2008年10月29日
假设原有雷数为N(N=0,1,2...),一个布局中的所有数字之和为N1,与其逆布局中的所有数字之和为N2.

 盘面为长宽分别为a,b的长方形,a,b为正整数,且a,b不能同时为1.
一、当N=0时(盘面雷数为0),N1=N2=0,假设成立。

二、当N=1时(盘面雷数为1):
 1、雷在布局中间,将产生(3x3-1)个数字,N1=N2=8,假设成立。九宫减去自身空。
 2、雷在布局边缘,将产生(2x3-1)个数字,N1=N2=5,假设成立。...
 3、雷在布局角部,将产生(2x2-1)个数字,N1=N2=3,假设成立。...

三、依次类推,在布局中增加一个雷M后,N1,N2相应发生变化,变化值为m,同理:
 1、雷在布局中间,m=8, 
 2、雷在布局边缘,m=5, 
 3、雷在布局角部,m=3, 
所以,根据新添加雷的所在位置,m=8,5,3

三、在布局中增加一个雷M后,M1=N1+m,
  布局逆反后,无论新雷所产生的空是否与既存雷,既存雷所产生的空重叠,m都只根据新雷的所在位置而定,故:M2=N2+m

得出公式:
M1=N1+m
M2=N2+m
因为N1=N2,m为定值,所以M1=M2,假设成立。
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第 3 楼
 [雷神] 石磊 回复于 2008年10月29日
还要仔细看看。。。
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第 4 楼
 [榜眼] 徐顺飞 回复于 2008年10月29日
    在雷盘上任取一个雷A,雷A产生的数字和总是=雷A周围的空格数=逆雷阵里空格A周围的雷数=逆雷阵里空格A的数值.所以最终所有雷的数字和=每个雷周围空格之和的和.

    形象说明:雷盘上面有n个雷(分别是A1,A2,A3,...An).设雷A1周围有X1(显然X1<=8)个空格,那么他在这X1个空格上面产生了X1个数字1;同时在逆雷阵里,A1变成了空格,而其周围的X1个空格变成了雷,这X个雷在A1这个格子上产生了1个数字,这个数字是X1.即X1*1=1*X1.以此类推雷A2,A3,...An.

    于是整个雷盘的数字和=X1+X2+....+Xn,无论是正逆雷阵. 
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第 5 楼
 [雷神] 石磊 回复于 2008年11月10日
感谢各位的回答!

这是另一位数学高手Laplacian提供的答案:

我来说吧。每个雷到它相邻的没有雷的数字格子画一只箭,那么没有雷的格子里的数字是其上箭头的数目,所有数字之和即为箭头的总数量,也即的数量。逆布局中,没有雷的格子里的数字是其上箭尾的数目,所有数字之和同样是的数量。不知可否?
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第 6 楼
 [榜眼] 徐顺飞 回复于 2008年11月10日
不是跟我的一样的嘛,同样的方法,不同的论述而已!
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第 7 楼
 [雷神] 石磊 回复于 2008年11月11日
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第 8 楼
 [雷神] 胡晓松 回复于 2008年11月14日
都是专业人才,PFPF!!
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第 9 楼
 [秀才] 肖伊立 回复于 2008年11月15日
老大办法也不笨啊,数学归纳法来着,呵呵
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第 10 楼
 [书生] 施蔼珈 回复于 2022年9月28日
嚯,用数学归纳法&#128064;
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